Geomantik 1

Reformierte Kurzfassung der Einführung in die Grundlagen der Geomantik der Ebene


zu den Musterl�sungen der Hausaufgaben
Liebe Schülerinnen und Schüler !

Die neue Studienreform bringt einige �nderungen mit sich. Da sich der Unterricht ab diesem Semester auf eine Lektion beschr�nkt, bekommt ihr Sch�ler sowohl die M�glichkeit, die Vielfalt der angebotenen Unterrichtsf�cher besser auszukosten als auch eine intensivere Betreuung durch die Lehrer.
Da jedoch der Unterrichtsstoff an sich nicht weniger geworden ist, geht die Reduktion auf eine Lektion mit einer deutlichen Straffung des Inhaltes einher.
Daher muss ich mir den bisher gerne genommenen Luxus verkneifen, die Kernpunkte der Lektion ausschweifend und erl�uternd zu pr�sentieren.
Die Geomantik selbst tut sich damit wesentlich leichter als ich, da sie eine klare, wissenschaftliche Sprache besitzt, auf die ich im Folgenden haupts�chlich zur�ckgreife. Von euch Sch�lern verlangt die vorgeschriebene Straffung daher etwas mehr Konzentration und Mitarbeit.
Der Einfachheit halber werde ich diese Lektion nach wie vor in Einzelbl�cke unterteilen, welche jeweils die wesentlichen Aussagen der bisherigen Lektionen zusammenfassen. In dieser Lektion werde ich den Stoff der ersten drei Lektionen des unreformierten Unterrichts in komprimierter Form pr�sentieren, die bisher unterrichteten Lektionen vier bis sechs werden dann im nächsten Semester als Geomantik 2 angeboten.

Genug der einf�hrenden Worte, gehen wir auf die spannende Entdeckungsreise durch die Grundlagen der Geomantik.

Labyrinthe und Irrgärten

Grundlegende Definitionen:
Sei G = (V,E) mit V ⊂ ℜ2, |V| = n sowie E ⊆ {{x,y} : x,y∈ V}, |E| = m.

G ist ein Labyrinth, wenn folgende Bedingungen gelten:

L1)
∀ x∈V : {x,x} ∉ E
L2)
∀x1,xk∈V ∃ W=(x1,...xk) : {x1,x2}, ...,{xk-1,xk} ∈ E
L3)
∀ x1∈V : ex. kein W=(x1,...,xk, x1) : {x1,x2}, ...,{xk,x1} ∈ E
L4)
∃1xs ∃1xz ∈ V : xs≠ xz, |{y ∈ V : {xs,y} ∈ E}| = 1 und |{y ∈ V : {xz,y} ∈ E}| = 1.

G ist ein Irrgarten, wenn L1 und L2 gelten sowie die zwei Bedingungen
L4')
∃xs ∃ xz ∈V : xs≠ xz, |{y ∈ V : {xs,y} ∈ E}| = 1 und |{y ∈ V : {xz,y} ∈ E}| = 1.
L5)
∀ Gt=(Vt,Et) : Vt ⊆ V, Et ⊆ E ⇒ Gt ist nicht hom�omorph zu K5 oder zu K3,3
Hierbei ist K5 =(V={1,2,3,4,5},E={{x,y} : x≠y∈V}) und
K3,3=(V={1,2,3,4,5,6},E={{1,x} : x ∈ {4,5,6}} ∪ {{2,x} : x ∈ {4,5,6}} ∪ {{3,x} : x ∈ {4,5,6}}).

Bedingung L5) mag etwas unanschaulich wirken, daher werden wir uns diesen im vierten Abschnitt genauer anschauen.


Sei G = (V,E) ein Irrgarten und ρ:{1,...,m}→E eine Bijektion und gelte die zusätzliche Bedingung
L6)
∀ x ∈ V ∀ k = 1...m ex. kein (al)l = 1...k paarweise verschiedener ai ∈ N : x ∈ ρ(a1) und x ∈ ρ(ak)
Dann ist mit xs und xz aus L4')
ML = (xs,x1,...,xz) mit der Eigenschaft
∀ xk : |{y ∈ V : {xk,y}}| > 2 ⇒ ρ-1{xk,xk+1} = max {ρ-1{xk,y} : y ∈ V\{xk-1}}
eine Linke-Hand Regel und
MR = (xs,x1,...,xz) mit der Eigenschaft
∀ xk : |{y ∈ V : {xk,y}}| > 2 ⇒ ρ-1{xk,xk+1} = min {ρ-1{xk,y} : y ∈ V\{xk-1}}
eine Rechte-Hand-Regel.

Mit diesen Voraussetzungen und Bezeichnungen gilt:

Satz 1:
1) {{xi,xi+1} : xi∈ML, xi+1∈ML } ∩ {{xi,xi+1} : xi∈MR, xi+1∈MR } ist ein k�rzester Weg von xs nach xz.
2) {{xi,xi+1} : xi∈ML, xi+1∈ML } ∪ {{xi,xi+1} : xi∈MR, xi+1∈MR } = E.


Innen und Aussen

Die Grundlage, um in der modernen Geomantik von Innen und Aussen zu sprechen, liegt bereits einige Jahre zur�ck, als Kollege Jordan folgenden anschaulich sofort einleuchtenden und doch diffizil zu beweisenden Satz formulierte:

Satz 2:
Sei C eine einfache geschlossene Kurve in ℜ2 Mit Komplement K⊆ℜ2.
Dann zerf�llt K in genau zwei Zusammenhangskomponenten K1 und K2 mit genau einem beschr�nktem K1, das Innere und einem unbeschr�nkten K2, dem Äusseren, für die K1∩K2 = C gilt.

(Insbesondere sind in der diskreten Geomantik polygonale Kurven C = ∩i=1..n pi mit endlich vielen geraden Strecken p sehr interessante Objekte.)

Eine einfache Folgerung aus Satz 2 erlaubt uns, anhand eines Referenzpunktes in einem der beiden Komponenten, schnell herauszufinden, ob wir und in derselben Komponente aufhalten oder nicht:
Sei xs∈K1 und γ eine stetige Abbildung von [0,1] in ℜ2 mit ∀y≠x∈[0,1] : γ(y) ≠ γ(x) und γ(0) = xs, γ(1) = xz. Dann gilt:
|{y∈ℜ2 : y∈C ∩ Im(γ)}| ≡ 0 mod 2 ⇒ xz∈K2
|{y∈ℜ2 : y∈C ∩ Im(γ)}| ≡ 1 mod 2 ⇒ xz∈K1

Da wir uns im Zweidimensionalen aufhalten, kann der Satz noch etwas versch�rft werden und das Innen und Aussen deutlich herausgebildet werden. Mit den Bezeichnungen aus Satz 2 gilt:
Satz 2':
Es existiert eine Bijektion f : ℜ2→ℜ2 mit stetigem f und f-1 für die f(C)=S1 und f(K1)={x∈ℜ2 : ||x||<1} sowie f(K2)={x∈ℜ2 : ||x||>1} gilt.

Satz 2' gilt nicht mehr in ℜn mit n>2. Allerdings l�sst sich Satz 2 verallgemeinern:
Sei C eine kompakte (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℜn. Dann besitzt das Komplement K von C in ℜn genau zwei Zusammenhangskomponenten, von denen eine die Eigenschaft besitzt, dass der Abschluss eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand C ist.

Ich hoffe, ihr hattet in diesem neuen Unterricht zu Geomantik viel Spass und habt etwas gelernt.

Hausaufgaben

Aufgabe 1
a) Geben Sie sowohl einen Irrgarten mit L5 als auch ein Labyrinth mit V = { (a,b) ∈ Ζ ⁄ Ζ5 x Ζ ⁄ Ζ10}
b) überprüfen Sie die Aussage von Satz 1 an Ihrem Beispiel-Irrgarten.

Aufgabe 2
Mit der Abbildung aus Satz 2' ist aufgrund der Konvexität von S1 unser Komponentenzugehörigkeitstest sofort ersichtlich. Machen Sie sich dies an einer Skizze klar.

Bearbeitungen der Hausaufgabe

Diese Hausaufgabe wurde von zwei Schülern mustergültig bearbeitet. Mit Verdruss ergab sich im Folgenden eine rege Diskussion, in welcher der Stoff der Lektion n�her durchleuchtet, Verbesserungen gefunden und weiterführende Ideen ausgetauscht wurden:

[Klassenraum verlassen][Fragen?]